Variationsrechnung

Sei U\subset\mathbb{R}^n offen und C^2([t_0,t_1],U) die Menge der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen von [t_0,t_1]\to U. Sei S:C^2([t_0,t_1],U)\to\mathbb{R}\,,\,S[x]=\int_{t_0}^{t_1}L(x(t),\dot x(t)dt , wobei L:U\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} genügend oft diffbar.
Sei x:[t_0,t_1]\to U eine zweimal stetig diffbare Funktion.

S ist ein Funktional. Die Funktion L ist eine Lagrange-Funktion. x heißt kritische Kurve bezüglich S bei Variation mit festgehaltenen Endpunkten, falls für alle Funktionen h\in C^2([t_0,t_1],\mathbb{R}^n) mit h(t_0)=h(t_1)=0 gilt \frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0}S[x+\epsilon h]=0 x\in C^2([t_0,t_1],U) Sei x eine Funktion, die S minimiert. Dann gilt \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0 Sei x eine Funktion, für die gilt \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0 . Dann wird S durch x minimiert. Für x gilt \frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon=0}S[x+\epsilon h]=0 für alle h\in C^2([t_0,t_1],\mathbb{R}^n) mit h(t_0)=h(t_1)=0 genau dann, wenn \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0 .